soal soal matematika komposisi fungsi beserta penyelesaianya

1. Jika f(x) dibagi ( x – 2 ) sisanya 24, sedagkan jika f(x) dibagi dengan ( 2x – 3 ) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan ( x – 2 ) ( 2x – 3 ) sisanya adalah ….

a. 8x + 8

b. 8x – 8

c. – 8x + 8

d. – 8x – 8

e. – 8x + 6

Secara umum bentuk dari persmaan suku banyak adalah

Dimana : f(x) adalah yang dibagi P(x) adalah pembagi

H(x) adalah hasil bagi S(x) adalah sisa pembagian

Selain itu jika ada pernyataan f(2) = 5 itu berarti sebuah fungsi f(x) dibagi oleh ( x – 2 ) menghasilkan sisa 5.

Dari keterangan soal diketahui : f(2) = 24 dan , nilai 2 dan 3/2 didapat dari pembuat harga nol untuk ( x – 2 ) dan ( 2x – 3 ).

x – 2 = 0 dan 2x – 3 = 0

x = 2 dan x = 3/2

Masukkan nilai f(2) = 24 dan , pada persamaan

Didapat

karena bilangan 0 dikalikan denan bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat : 2a + b = 24 … (1)

… (2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2 :

2a + b = 24 … (1)

… (2)

----------------- --

½ a = 4

a = 8

Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2.

2a + b = 24 … (1)

2(8) + b = 24

b = 24 – 16 = 8

Sehingga sisa dari pembagiannya adalah ax + b = 8x + 8.

2. Sisa pembagian suku banyak ( x⁴ – 4x³ + 3x² – 2x + 1 ) oleh ( x² – x – 2 ) adalah ….

a. –6x + 5

b. –6x – 5

c. 6x + 5

d. 6x – 5

e. 6x – 6

Jawab :

1. Cari akar – akar dari persamaan x² – x – 2

x² – x – 2 = 0

( x – 2 )( x + 1 ) = 0

x – 2 = 0 atau x + 1 = 0

x = 2 atau x = –1

2. Substitusikan kedua nilai pada f(x) = x⁴ – 4x³ + 3x² – 2x + 1 untuk medapatkan sisa pembagian

f(2) = 2⁴ – 4(2)³ + 3(2)² – 2(2) + 1 = 16 – 32 + 12 – 4 + 1 = –7

f(–1) = –1⁴ – 4(–1)³ + 3(–1)² – 2(–1) + 1 = 1 + 4 + 3 + 2 + 1 = 11

3. Masukkan nilai f(2) = –7 dan , pada persamaan
4. Didapat

karena bilangan 0 dikalikan denan bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat : 2a + b = –7 … (1)

… (2)

Eliminasi persamaan 1 dan 2 :

2a + b = –7 … (1)

… (2)

----------------- --

3a = –18

a = –6

Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2.

2a + b = –7 … (1)

2(–6) + b = –7

b = –7 +12 = 5

Sehingga sisa dari pembagiannya adalah ax + b = –6x + 5.

3. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1 ) sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x² – 6x + 5 sisanya adalah ….

1. 2x + 2
2. 2x + 3
3. 3x + 1
4. 3x + 2
5. 3x + 3

Caranya sama dengan nomor satu, catatannya faktor dari x² – 6x + 5 = 0 adalah ( x – 5 )( x – 1 ) = 0

4. Diketahui ( x + 1 ) salah satu factor dari suku banyak f(x) = 2x⁴ – 2x³ + px² – x – 2, salah satu factor yang lain adalah ….

1. x – 2
2. x + 2
3. x – 1
4. x – 3
5. x + 3

Langkah 1

Substitusikana harga pembuat nol ( x + 1 ) pada f(x) = 2x⁴ – 2x³ + px² – x – 2 untuk mendapatkan nilai p.

x + 1 = 0

x = –1

f(–1) = 2(–1)⁴ – 2(–1)³ + p(–1)² – (–1) – 2 = 0

2 + 2 + p + 1 – 2 = 0

( = 0 karena ( x+1) merupakan salah satu faktor dari suku banyak, lihat kembali pada soal )

Didapat :

3 + p = 0

P = – 3, sehingga fungsinya menjadi f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 3x² – x – 2

Langkah 2

Faktor lainnya dapat dicari dengan menggunakan cara Horner.

Ambil koefisien pada suku banyak. f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 3x² – x – 2

f(x) = ( x + 1 ) ( 2x³ – 4x² + x – 2 ) , cari akar dari f(x) = 2x³ – 4x² + x – 2

( Cara mencari akarnya dengan menentukan nilai a dan b, di mana a adalah faktor bulat dari ao dan b adalah faktor bulat dari an. Dimana bentuk umum persamaan suku banyaknya adalah

Dari nilai a dan b yang didapat dapat ditentukan akar – akarnya adalah yang memenuhi

Dari persamaan suku banyak f(x) = 2x³ – 4x² + x – 2 didapat a = –2, –1, 1, 2 dan b = –2, –1, 1, 2.

Himpunan akar yang mungkin adalah , setelah dicoba akar yang memenuhi adalah x = 2 )

f(x) = 2x⁴ – 2x³ – 3x² – x – 2 = ( x + 1 ) ( x – 2 ) ( 2x² + 1 )

5. Jika suku banyak P(x) = 2x⁴ + ax³ – 3x² + 5x + b dibagi oleh ( x² – 1 ) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = ….

1. – 6
2. – 3
3. 1
4. 6
5. 8

Cari akar – akar dari persamaan x² – 1

x² – 1 = 0

( x – 1 )( x + 1 ) = 0

x – 1 = 0 atau x + 1 = 0

x = 1 atau x = –1

Substitusikan kedua nilai pada P(x) = 2x⁴ + ax³ – 3x² + 5x + b untuk medapatkan sisa pembagian

P(1) = 2(1)⁴ + a(1)³ – 3(1)² + 5(1) + b = 2 + a – 3 + 5 + b = a + b + 4 … (1)

P(–1) = 2(–1)⁴ + a(–1)³ – 3(–1)² + 5(–1) + b = 2 – a – 3 – 5 + b = –a + b – 6 ... (2)

Masukkan nilai P(1) dan P(–1) pada sisa suku banyak ( 6x + 5 ) pada persamaan

Didapat

karena bilangan 0 dikalikan denan bilangan berapapun akan menghasilkan nol maka akan didapat :

P(1) = 11 dan P(–1) = –1

Substitusi nilai P(1) dan P(–1), didapat :

P(1) = a + b + 4 = 11

P(–1) = –a + b – 6 = –1

Eliminasi persamaan 1 dan 2 :

a + b = 7 … (1)

… (2)

----------------- --

2a = 2

a = 1

Sustitusi a pada persamaan 1 atau 2.

a + b = 7 … (1)

(1) + b = 7

b = 7 – 1 = 6

nilai a.b = 1 x 6 = 6

6. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi ( x + 1) sisanya 8 dan dibagi ( x – 3 ) sisanya 4. Suku banyak q(x) jika dibagi dengan ( x + 1 ) bersisa –9 dan jika dibagi ( x – 3 ) sisanya 15 . Jika h(x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x² – 2x – 3 sisanya adalah ….

1. –x + 7
2. 6x – 3
3. –6x – 21
4. 11x – 13
5. 33x – 39

Jawab :

Diketahui f(–1) = 8, f(3) = 4, q(–1) = –9, q(3) = 15

h(x) = f(x).q(x) = P(x). H(x) + S(x)

h(x) = f(x).q(x) = ( x + 1 ) ( x – 3 ). H(x) + ax + b

substitusi nilai yang diketahui :

h(–1) = f(–1).q(–1) = ( –1 + 1 ) (–1 – 3 ). H(–1) + a(–1) + b

h(–1) = 8 x (–9) = 0 x (–4) + (–a) + b

–a + b = –72 … (1)

h(3) = f(3).q(3) = ( 3 + 1 ) ( 3 – 3 ). H(3) + a(3) + b

h(3) = 4 x 15 = 0 x (–4) + 3a + b

3a + b = 60 … (2)

eliminasi persamaan 1 dan 2

–a + b = –72 … (1)

3a + b = 60 … (2)

--------------- --

–4a = –132

a = 33

substitusi nilai pada persmaan 1 atau 2

–a + b = –72 … (1)

–33 + b = –72

b = –72 + 33

b = –39

Sehingga hasil pembagiannya adalah : ax + b = 33x – 39

7. Suku banyak 6x³ + 13x² + qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear yang lain adalah ….

1. 2x – 1
2. 2x + 3
3. x – 4
4. x + 4
5. x + 2

Caranya sama dengan nomor 4

8. Suku banyak P(x) = 3x³ – 4x² – 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian P(x) oleh x² + 2x + 2 adalah ….

1. 20x + 24
2. 20x – 16
3. 32x + 24
4. 8x + 24
5. –32x – 16

Jawab :

Karena P(x) habis dibagi oleh ( x – 2 ) maka P(2) = 0

P(2) = 3(2)³ – 4(2)² – 6(2) + k = 0

24 – 16 –12 + k = 0

–4 + k = 0

k = 4